Quiz 1'in bütün konuları: simetriler ve Cayley tablosu, grup tanımı, , , ters eleman ve mertebe. Sonunda 12 örnek sorunun hepsi adım adım çözülmüş hâlde.
1. Sırayla gitKonu 0'daki mod hesabı her yerde lazım. Oradan başla.
2. OynaSimetri ve grup laboratuvarlarında kendi örneğini dene. Şekli döndür, tabloyu kendin kur.
3. Önce kendin dene"Sen dene" kutularında cevabını yaz ya da şıkkı seç, sonra çözüme bak.
4. Renk kapısıHer doğru cevap +1, her biten konu +3 jeton. Jetonlar bulmacayla ortak.
soyut cebir aslında saat hesabı ♡
Konu 0 · Alet çantası
Mod aritmetiği: saat hesabı
Modular arithmetic, gcd
kısaca = 'yı 'ye bölünce kalan. Saat 12'de sıfırlanır: 10'dan 5 saat sonra 3 olur, çünkü .
"a, b'ye mod n'de denk" (congruent). Mesela , çünkü .
İki büyük hile
Büyük sayıyı küçült. Hesabın ortasında istediğin an mod alabilirsin: .
Eksi kullan.'ye yakın sayıları eksi olarak düşün: mod 13'te , mod 11'de . Hesap çok kolaylaşır: mod 11'de .
En büyük ortak bölen: gcd
iki sayıyı birden bölen en büyük sayı. , . gcd = 1 ise sayılara aralarında asal (relatively prime) denir. Bu bilgi 'de (Konu 4) ve mertebede (Konu 6) çok lazım.
modulo n mod nremainder kalancongruent denkgcd en büyük ortak bölenrelatively prime aralarında asal
sen dene
kaç?
Çözüm
. Kalan 5.
sen dene
kaç? (0 ile 9 arasında yaz)
Çözüm
Eksi sayıya ekle: .
sen dene
kaç?
Çözüm
12'nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bunlardan 20'yi de bölen en büyüğü 4.
Ek örnekler
Ex?
, kalan 1. Yani mod 11'de 7 ile 8 birbirinin tersi. Bunu Konu 4'te kullanacağız.
Ex? (Büyük kuvvet)
Kuvveti parçala: . Sonra 1. 1024'ü hiç hesaplamadık.
sen dene
kaç? (Eksi hilesini dene)
Çözüm
, . 2. Kontrol: ✓
sen dene
kaç?
Çözüm
, 4. ( ✓)
Konu 1 · Görsel
Simetriler: şekli kendi üstüne oturtan hareketler
Symmetries of a figure · Quiz soru 1 ve 6
kısacaBir şeklin simetrisi, onu döndürüp ya da çevirip tam eski yerine oturtan bir harekettir. Şekli çizilmiş kâğıttan kesip havaya kaldırdığını düşün: kaç farklı şekilde geri koyabilirsin?
İki çeşit hareket
Dönme (rotation): . "hiçbir şey yapma" demek, o da bir simetri.
Yansıma (reflection): bir eksen etrafında ters çevirme. Karede 4 eksen var: yatay , dikey ve iki köşegen .
simetri laboratuvarı
dönmeler saat yönünde · H yatay eksen, V dikey eksen, D ve D′ köşegenler · renkli köşeler nereye gittiğini gösterir
Hangi şeklin kaç simetrisi var?
Şekil
Simetriler
Sayı
Kare
8 (grubu )
Dikdörtgen (kare değil)
, yatay ve dikey eksen
4
Eşkenar dörtgen (kare değil)
, iki köşegen
4
Fırıldak
, yansıma yok
4 (grubu )
Düzgün n-gen
n dönme + n yansıma
2n (grubu )
Fırıldak neden yansımaz?
Kollardaki eğik çizgiler hep aynı yöne bakıyor (saat yönü). Aynada çevirince ters yöne bakarlar, şekil yerine oturmaz. Laboratuvarda fırıldağı seçip H'ye bas, gör.
İki hareketi art arda yapmak (bileşke)
demek: önce 'yi, sonra 'yı yap (fonksiyon bileşkesi gibi, sağdan sola). Mesela . İki yansıma art arda bir dönme verir: .
quizdeki fırıldak ve dikdörtgen gruplarında sıra fark etmiyor (değişmeli). kare D₄'te fark eder: hocanın sırasına dikkat
Quiz soru 6: dikdörtgen ve eşkenar dörtgen
İkisinin de 4 simetrisi var: , ve iki yansıma (dikdörtgende yatay/dikey eksen, eşkenar dörtgende köşegenler). Tabloları aynı:
∘
I
R₁₈₀
a
b
I
I
R₁₈₀
a
b
R₁₈₀
R₁₈₀
I
b
a
a
a
b
I
R₁₈₀
b
b
a
R₁₈₀
I
Her eleman kendisinin tersi (köşegende hep I var). Bu gruba Klein 4-grubu denir.
symmetry simetrirotation dönmereflection yansımacomposition bileşkedihedral group dihedral grup nonsquare rhombus kare olmayan eşkenar dörtgen
sen dene
Eşkenar üçgenin kaç simetrisi var?
Çözüm
3 dönme () + 3 yansıma (her köşeden karşı kenarın ortasına eksen) = 6. Grubu .
sen dene
Karede hangi simetri? (mesela R180 yaz)
Çözüm
90° + 90° = 180°: .
sen dene
Fırıldakta hangi simetri?
Çözüm
270° + 90° = 360° = 0°: (hiçbir şey yapmamak). Yani , 'ın tersi.
Ek örnekler
ExS harfinin (ya da Z harfinin) simetrileri?
Ters çevirince () yine S olur, ama aynada S ters döner. Simetriler: . 2 eleman. Tablo: .
ExH harfinin simetrileri?
, , yatay eksen ve dikey eksen yansıması: 4 eleman. Dikdörtgenle aynı tablo (Klein 4-grubu).
ExDüzgün altıgen?
6 dönme () + 6 yansıma = 12. Genel kural: düzgün n-genin simetrisi var ().
sen dene
A harfinin kaç simetrisi var?
Çözüm
ve dikey eksen yansıması: 2. A'yı baş aşağı çevirir, olmaz.
sen dene
Düzgün beşgenin kaç simetrisi var?
Çözüm
5 dönme + 5 yansıma = 10.
Konu 2 · Tanım
Grup nedir? Dört şart
Definition of a group · Quiz soru 3, 8, 11
kısacaGrup = bir küme + bir işlem, öyle ki işlem kümeden dışarı çıkarmıyor, etkisiz eleman var ve herkesin tersi var. (Bir de birleşme özelliği, ama mod işlemlerinde o hep bedava.)
Şart
Anlamı
Örnek (, toplama)
Kapalılık (closure)
iki tam sayının toplamı tam sayı
Birleşme (associativity)
Etkisiz eleman (identity)
olan var
Ters (inverses)
her için olan var
'nın tersi
İşlemde sıra fark etmiyorsa () gruba değişmeli ya da abelyen (abelian) denir.
"Neden grup değil?" kontrol listesi
Kapalılık. İki eleman seç, işlemi yap. Sonuç kümede yoksa bitti. Bu en sık bozulan şart.
Etkisiz eleman. Toplamada 0, çarpmada genelde 1 kümede mi?
Ters. Mod n çarpmada: olan bir varsa onun tersi yoktur.
cevapta somut örnek ver: "4 + 18 = 22 ≡ 2 (mod 20) ve 2 kümede yok" gibi. tek örnek yeter
Quiz 3 mod 20 toplamada neden grup değil?
18 öbürlerine benzemiyor (4'ün katı değil), oradan dene: . 2 kümede yok → kapalılık bozuluyor.
Quiz 8a mod 10 toplamada?
5 eksik. kümede yok → kapalı değil.
Quiz 8b mod 9 çarpmada?
, yani 6'nın tersi yok. Hatta ve 0 kümede yok: kapalılık da bozuk.
Quiz 11 mod 10 çarpmada?
Etkisiz eleman 1. Ama 5'le neyi çarparsan çarp sonuç 5 ile biter: , . Hiçbir zaman 1 çıkmaz → 5'in tersi yok. (Sebep: .)
group grupbinary operation ikili işlemclosed kapalıidentity element etkisiz (birim) elemaninverse tersabelian değişmeliexplain why … is not a group neden grup olmadığını açıkla
sen dene
, mod 8 toplamaya göre grup mu?
Neden?
Çift + çift = çift, mod 8'de de çift kalır: kapalı. Etkisiz 0. Tersler: 2↔6, 4↔4, 0↔0. Grup.
sen dene
, mod 4 çarpmaya göre grup mu?
Neden?
ve 0 kümede yok: kapalı değil. (, 2'nin tersi de yok.)
sen dene
Tam sayılar () çarpmaya göre grup mu?
Neden?
Etkisiz 1. Ama 2'nin tersi olurdu ve o tam sayı değil. Ters şartı bozuk.
Ek örnekler
ExTam sayılar çıkarmaya göre grup mu?
Kapalı (iki tam sayının farkı tam sayı), ama birleşme bozuk: ama . Grup değil. Quizde nadiren sorulur, ama sorulursa tek bu şart bozulur.
Ex mod 10 çarpma grup mu?
Bu tam olarak . Kapalı (mesela , ), etkisiz 1, tersler 3↔7, 9↔9. Grup.
sen dene
, mod 12 çarpmaya göre grup mu?
Neden?
Kapalı çıkıyor (, ) ve etkisiz 1. Ama 4'ün tersi yok: 4'le ne çarparsan 4 çıkıyor. (.)
sen dene
, mod 18 toplamaya göre grup mu?
Neden?
ve 15 kümede yok: kapalı değil. ( olsaydı grup olurdu.)
Konu 3 · İlk grup
: mod n toplama
The group Zn under addition modulo n
kısaca, işlem toplayıp mod n almak. Etkisiz eleman 0. 'nın tersi , çünkü toplamları .
Quiz 7a'de 13'ün tersi?
→ 7. Kontrol: ✓
Tuzak
'de "ters" çarpma tersi değil, toplama tersi. Etkisiz eleman 1 değil 0. Soruda görünce toplama, görünce çarpma düşün.
kısacaSatır başına ve sütun başına elemanları yaz. Satır , sütun kutusuna 'yi yaz. İlkokuldaki çarpım tablosu, sadece mod n ile.
Tablodan okunan dört şey
Etkisiz eleman: satırı başlık satırının aynısı olan eleman.
Tersler: etkisiz elemanın göründüğü kutular. Satır ve sütun birbirinin tersi.
Latin kare: grup tablosunda her eleman her satırda ve her sütunda tam bir kez görünür. Tekrar varsa grup değil.
Değişmeli mi: tablo köşegene göre simetrikse abelyen.
Quiz 10, mod 15 çarpma. Cayley tablosu ve etkisiz eleman?
×₁₅
3
6
9
12
3
9
3
12
6
6
3
6
9
12
9
12
9
6
3
12
6
12
3
9
6'nın satırı başlıkla aynı: . Etkisiz eleman 6! 1 kümede yok, o yüzden birim başka bir sayı çıktı. Şaşırtıcı ama doğru: .
Tuzak
"Çarpmada etkisiz eleman hep 1" diye ezberleme. Kümede 1 yoksa tabloya bak: kendi satırı başlıkla aynı olan eleman etkisizdir.
Quiz soru 1: fırıldak
∘
R₀
R₉₀
R₁₈₀
R₂₇₀
R₀
R₀
R₉₀
R₁₈₀
R₂₇₀
R₉₀
R₉₀
R₁₈₀
R₂₇₀
R₀
R₁₈₀
R₁₈₀
R₂₇₀
R₀
R₉₀
R₂₇₀
R₂₇₀
R₀
R₉₀
R₁₈₀
Kural: açıları topla, 360'tan büyükse 360 çıkar. Desen her satırda bir sola kayıyor.
Cayley table Cayley (işlem) tablosuconstruct oluşturLatin square Latin kareidentity element of G G'nin birim elemanı
sen dene
tablosunda kutusuna ne yazılır?
Çözüm
. Hatta 'de her eleman kendi tersi: , .
sen dene
, mod 10 çarpma bir grup. Etkisiz eleman hangisi?
Çözüm
1 kümede yok, tek tek dene. 6 ile çarp: , , , . Hepsi yerinde kaldı: etkisiz eleman 6. (Mesela 4 olamaz: .)
Ek örnekler
Ex'un Cayley tablosu
×₁₀
1
3
7
9
1
1
3
7
9
3
3
9
1
7
7
7
1
9
3
9
9
7
3
1
1'lerin yerinden tersleri oku: 3↔7, 9↔9. Her satırda her sayı bir kez: Latin kare ✓. Tablo köşegene göre simetrik: değişmeli.
sen dene
'da 9'un tersi?
Çözüm
. 9 kendi tersi.
sen dene
mod 12 tablosunda 4'ün satırı: 4, 4, 4, 4. Bu ne söyler?
Neden?
Grup tablosunda her satırda her eleman tam bir kez görünür. Aynı sayı tekrar ediyorsa grup değildir. (4'ün tersi yok.)
Konu 6 · En çok soru buradan
Elemanın mertebesi (order)
Order of an element · Quiz soru 4, 5, 9, 12
kısaca = 'yı kendisiyle kaç kere işleme sokunca ilk defa etkisiz elemana döndüğün. Toplamada: ilk ne zaman 0? Çarpmada: ilk ne zaman 1?
İkisi farklı şeyler! "Order of the group" eleman sayısı, "order of an element" dönme süresi.
'de: tek formül
'de: , , , .
'de: kuvvetleri hesapla, iki kısayolla
Lagrange kısayolu. Mertebe her zaman 'yi böler. ise mertebeler sadece 1, 2, 5 ya da 10 olabilir. Sadece bu kuvvetlere bak!
Eksi bir hilesi. bulursan . Daha önce 1 çıkmadıysa .
Kuvvetleri zincirle. Her seferinde bir öncekini ile çarp ve mod al. Büyük sayı biriktirme.
Quiz 4'de 2'nin mertebesi?
. Henüz 1 yok ve , yani . Mertebe 10.
Bütün tablo: , , , .
Quiz 12b'de 2'nin mertebesi?
, adaylar 1, 2, 3, 6, 9, 18. , , . O hâlde ve daha küçük aday kalmadı. Mertebe 18.
Quiz 5"'de mertebesi 4 olan bir eleman var." Doğru mu?
için lazım: . : mertebe 4. Doğru (75 de olur).
Tuzak
Etkisiz elemanın mertebesi her zaman 1. 'de 0, 'de 1. Bunu tabloya yazmayı unutma, bedava puan.
order of a group grubun mertebesi (eleman sayısı)order of an element elemanın mertebesiLagrange's theorem Lagrange teoremiprove or disprove ispatla ya da çürüt
sen dene
'de ?
Çözüm
. Kontrol: 6, 12≡4, 10≡2, 8≡0 → 4 adım.
sen dene
'de ?
Çözüm
3, 9≡2, 6, 18≡4, 12≡5, 15≡1 → 6. (Ya da: , yani mertebe .)
sen dene
'de ? (Quiz 9b)
Çözüm
, . → 4.
sen dene
'de mertebesi 4 olan kaç eleman var?
Çözüm
olan 'lar: 25 ve 75 (50'nin gcd'si 50). Cevap 2.
Ek örnekler
Ex'te bütün mertebeler
, adaylar 1, 2, 3, 4, 6, 12. Sonuç: ; ; ; ; ; .
Örnek hesap: → . → .
Ex'de bütün mertebeler
: , , , , , .
sen dene
'te ?
Çözüm
. Eksi bir hilesi: mertebe 4.
sen dene
'da ?
Çözüm
2, 4, 8, 16≡7, 14≡5, 10≡1 → 6. (, 2 bir üreteç.)
sen dene
"'de mertebesi 4 olan bir eleman var." Doğru mu?
Neden?
: , , . Bütün mertebeler 1 ya da 2. Yanlış.
Konu 7 · Oyun alanı
Grup laboratuvarı
Build any table, check your answers
nasıl kullanılırBir küme yaz, işlemi ve n'yi seç. Laboratuvar Cayley tablosunu kurar, grup olup olmadığını ve nedenini söyler, grupsa her elemanın tersini ve mertebesini gösterir. Bir elemana dokun: kuvvetleri sırayla belirsin.
Önce hocanın verdiği 12 soru. Sonra aynı kalıpta, sayıları değiştirilmiş iki deneme: quizde büyük ihtimalle bunlara benzer sorular çıkar. Süreyi başlat, kâğıda çöz, sonra çözümlere bak.
12 soru · kendi hızında
1
Describe the symmetries of the following figure and construct the corresponding Cayley table.
Çözüm
Kollardaki eğik parçalar hep aynı yöne döndüğü için yansıma simetrisi yok. Dönmeler var: . 4 elemanlı devirli grup . Tablo Konu 5'teki fırıldak tablosu: açıları topla, mod 360.
2
Find the inverse of 11 in the group .
Çözüm
. 14, 27, 40, 53, 66 listesinde . 6. Kontrol: ✓
3
Explain why the set is not a group under addition modulo 20.
Prove or disprove: "In there is an element with order 4."
Çözüm
True.. Check: .
6
Describe the symmetries and construct the Cayley table: a) a nonsquare rectangle, b) a nonsquare rhombus.
Çözüm
İkisinde de ve iki yansıma var (dikdörtgende yatay ve dikey eksen, eşkenar dörtgende köşegenler). Tablo Konu 1'deki Klein 4-grubu tablosu: , , her eleman kendinin tersi.
7
Find the inverse: a) 13 in , b) 13 in .
Çözüm
a) Toplama: 7. b) Çarpma: , → 4.
8
Explain why not groups: a) under addition mod 10, b) under multiplication mod 9.
Çözüm
a) set: not closed. b) , so 6 has no inverse; also set.
9
Compute the order of each element: a) , b) .
Çözüm
a) , , , .
b) . ; (karesi 1); .
10
Let under multiplication mod 15. Construct the Cayley table. What is the identity?
Çözüm
Tablo Konu 5'te. Etkisiz eleman 6.
11
Explain why under multiplication modulo 10 is not a group.
Çözüm
Identity is 1, but 5 has no inverse: always ends in 5 (mod 10 it is 5), never 1. (.)
12
Find the order and inverse of 2 in .
Çözüm
Ters: → 14. Mertebe: ; → 18.
1
Describe the symmetries of the letter S and construct the Cayley table.
Çözüm
Only and (no reflections: a mirror reverses S). Table: , , .
2
Find the inverse of 7 in .
Çözüm
16, 31, 46, 61, 76, 91 → . 13. Check: .
3
Explain why is not a group under addition modulo 18.
Çözüm
set: not closed.
4
Compute the order of each element in .
Çözüm
; ; ; ; ; . (Konu 6 ek örnek.)
5
Prove or disprove: " has an element of order 4."
Çözüm
False. In , always divides 30, and 4 does not divide 30. (Lagrange de aynı şeyi söyler.)
6
Describe the symmetries of the letter H and construct the Cayley table.
Çözüm
, horizontal reflection , vertical reflection . Same table as the nonsquare rectangle: , , every element is its own inverse.
7
Find the inverse: a) 17 in , b) 17 in .
Çözüm
a) 8. b) → 3.
8
Explain why not groups: a) under multiplication mod 8, b) under addition mod 11.
Çözüm
a) set (also : 2 has no inverse). b) set: not closed.
9
Compute the order of each element: a) , b) .
Çözüm
a) Konu 6 ek örnekteki liste. b) : , ().
10
Let under multiplication mod 20. Construct the Cayley table. What is the identity?
Çözüm
×₂₀
4
8
12
16
4
16
12
8
4
8
12
4
16
8
12
8
16
4
12
16
4
8
12
16
Identity 16 ().
11
Explain why under multiplication modulo 9 is not a group.
Çözüm
set: not closed. Also : 3 has no inverse.
12
Find the order and inverse of 3 in .
Çözüm
Inverse: → 11. Order: , → 4.
1
List the symmetries of a square and give the order of each.
Çözüm
: 1. : 4. : 2. Four reflections : 2 each (aynı yansımayı iki kez yapınca başa dönersin). Toplam 8 eleman, grubu .
2
Find the inverse of 5 in .
Çözüm
19, 37, 55 → . 11.
3
Explain why the integers under subtraction do not form a group.
Çözüm
Not associative: . (Also no two-sided identity: but .)
4
Compute the order of each element in .
Çözüm
, . , , , . Örnek: → .
5
Prove or disprove: " has an element of order 4."
Çözüm
False., , (mod 8), so every non-identity element has order 2.
6
Describe the symmetries of an equilateral triangle. How many are there?
Çözüm
3 rotations () and 3 reflections (each through a vertex and the midpoint of the opposite side): 6. This group is not abelian.
7
Find the inverse: a) 9 in , b) 9 in .
Çözüm
a) 7. b) → 9 (kendi tersi).
8
Determine whether each is a group: a) under multiplication mod 10, b) under multiplication mod 12.
Çözüm
a) Yes, this is . b) No: closed and identity 1, but 4 has no inverse ( for every in the set).
9
Compute the order of each element: a) , b) .
Çözüm
a) , , , . b) : , , , .
10
Let under multiplication mod 40. Construct the Cayley table. What is the identity?
Çözüm
×₄₀
5
15
25
35
5
25
35
5
15
15
35
25
15
5
25
5
15
25
35
35
15
5
35
25
Identity 25 ().
11
Explain why under multiplication modulo 7 is not a group.
Çözüm
Identity is 1, but for every : 0 has no inverse. (Without 0 it is , a group.)
12
Find the order and inverse of 2 in .
Çözüm
Inverse: → 13. Order: . → 20.
★ · Tek sayfa
Formül kartı
Cheat sheet
Konu
Hatırla
Grup
kapalılık · birleşme · etkisiz eleman · ters
Grup değil
somut örnek ver: kapalılığı bozan iki eleman ya da tersi olmayan eleman
toplama mod n · · ·
gcd = 1 olanlar, çarpma mod n · ·
φ
, , aralarında asal çarpanlarda çarp
Ters bulma
1, n+1, 2n+1, … listesi · eksi hilesi · sonra kontrol et